Memahami Semua tentang Himpunan: Pengertian, Syarat dan Sifat Keanggotaan, Cara Menuliskan dan Macam- Macamnya
Materi himpunan merupakan topik bahasan di mapel Matematika yang diajarkan dari jenjang pendidikan dasar hingga ke jenjang tingkat tinggi. Melalui himpunan, kita akan dimudahkan dalam pengelompokan suatu objek sesuai dengan karakteristik yang sama.
 |
| Diagram Venn |
Teman- teman, pada kesempatan ini, kita akan belajar tentang himpunan, baik pengertian, syarat dan sifat keanggotaan, cara menuliskan dan macam- macam dari himpunan itu sendiri.
Baik, langsung saja yaa... Berikut pembahasan tentang himpunan.
Selamat Belajar...
Himpunan
1. Himpunan merupakan suatu kumpulan objek yang memiliki syarat keanggotaan tertentu dengan definisi secara jelas.
2. Contoh Himpunan
a. Himpunan hewan berkaki dua : ayam, itik, bebek, pinguin, burung, dan sebagainya
b. Himpunan Perguruan Tinggi Negeri di Indonesia : UNNES, UNDIP, UGM, ITB, UI, UB, UNPAD, dan sebagainya.
c. Himpunan ibukota provinsi di Indonesia : Bandung, Semarang, Surabaya, Denpasar, Medan, dan sebagainya.
d. Himpunan buah- buahan : durian, pisang, jeruk, apel, nanas, melon, semangka, buah naga, dan sebagainya
3. Benda yang termasuk ke dalam himpunan, seperti Bandung, Semarang, Surabaya, Denpasar, Medan, UNNES, UNDIP, UGM, ITB, UI, UB, UNPAD disebut sebagai anggota, elemen atau unsur himpunan. .
4. Himpunan dari semua elemen yang sedang dibicarakan disebut himpunan semesta
a. Contoh himpunan semesta : ketika membahas tentang UNNES, UNDIP, UGM, ITB, maka perguruan tinggi dapat dianggap sebagai himpunan semesta.
b. Himpunan semesta dilambangkan dengan huruf besar seperti huruf S atau U.
5. Notasi himpunan : Suatu himpunan dilambangkan dengan huruf besar, misalnya himpunan A, Himpunan B dan sebagainya dan anggota atau elemen dari suatu himpunan dilambangkan dengan huruf kecil, misalnya a, b, c d, dan sebagainya.
6. Syarat dan sifat keanggotaan himpunan
a. Himpunan dapat dibedakan antara benda yang satu dengan yang lain di dalam himpunan tersebut.
b. Himpunan harus dapat dibedakan antara benda yang menjadi anggota himpunan tersebut dengan benda yang bukan anggota himpunan tersebut.
c. terdapat hubungan yang nyata antara sesama anggota himpunan tersebut.
Notasi :
a ∈ A, dibaca "a anggota A"
a ∉ A dibaca "a bukan anggota himpunan A"
7. Cara Menuliskan Himpunan
a. Penulisan Himpunan dengan Cara Pendaftaran
(1) Cara penulisan himpunan dengan pendaftaran disebut juga tabulasi atau roster
(2) Cara menyatakan himpunan dengan pendaftaran adalah menuliskan dan meletakkan semua anggota himpunan diantara dua kurung kurawal
(3) Contoh : A = { ... }
b. Penulisan Himpunan dengan Cara Pencirian
(1) Cara pencirian disebut sebagai rula atau syarat keanggotaan
(2) Cara penulisannya dengan menuliskan salah satu huruf kecil diantara dua kurawal dan diikuti oleh suatu garis tegak atau titik dua, kemudian dituliskan sifat yang menyangkut huruf kecil tersebut.
(3) Contoh : {x | ... } atau A = {x : ...}
8. Himpunan Bagian
a. Suatu himpunan dapat dikatakan sebagai bagian dari himpunan lainnya apabila himpunan yang satu merupakan elemen dari himpunan lainnya tersebut, misalnya, himpunan A merupakan bagian dari himpunan B, jika elemen himpunan A merupakan elemen himpunan B.
b. Notasi himpunan bagian
(1) A ⊂ B, dibaca "A himpunan bagian dari B'
(2) B ⊃ A dibaca " B memuat A" atau "A termasuk di dalam B"
(3) A ⊄ B, dibaca "A bukan himpunan bagian dari himpunan B"
c. Contoh
A = {2, 4, 6, 8} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, maka ....
A = {2, 4, 6, 8} ; B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, maka ....
Jawab : A ⊂ B
d. Menghitung banyak himpunan bagian (Power Set) = P
(1) Banyak himpunan bagian dari himpunan A, dapat dihitung dengan rumus A = 2^n, dimana n adalah banyaknya jumlah anggota dari himpunan A.
(2) Himpunan bagian terdiri atas himpunan bagian sejati dan himpunan bagian tak sejati
(3) Contoh :
Jika A = {a, b, c}, maka banyaknya himpunan bagian adalah ....
Jawab :
A = 2^n = 2^3 = 8
9. Himpunan Komplemen
a. Apabila A adalah suatu himpunan dan S adalah semestanya, maka himpunan komplemen A adalah himpunan elemen- elemen yang menjadi anggota S namun bukan termasuk dalam anggota A.
b. Notasi : A^c atau A', dibaca "komplemen dari himpunan A". Komplemen dari himpunan A secara matematik dapat dituliskan sebagai berikut : A^c = {x | x ⊄ A dan x ∈ S }
c. Contoh :
Jika S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
A = { 2, 5, 6, 8, 9}
A'= ....
10. Himpunan Kosong
a. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota
b. Lambang himpunan kosong adalah ∅
c. Contoh himpunan kosong : A = {x | x^2 + 1 = 0 }
A = ∅
11. Irisan Dua Buah Bilangan
a. Irisan atau interseksi dua himpunan A dan B adalah himpunan elemen- elemen yang menjadi anggota A dan menjadi anggota B.
b. Notasi : A ∩ B, dibaca " A irisan B" atau " A interseksi B" sementara itu, secara matematik, irisan antara A dan B dapat ditulis sebagai A ∩ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B }
c. Contoh
Jika A = {a, b, c, d}
B = {a, c, e, g}
Maka A ∩ B = {a, c}
12. Gabungan Dua Himpunan
a. Gabungan (union) dua himpunan A dan B adalah himpunan elemen- elemen yang menjadi anggota A saja, atau anggota B saja, sekaligus menjadi anggota A dan B.
b. Notasi : A ∪ B dibaca "A gabungan B" atau "A union B". Secara matematik, gabungan antara himpunan A dengan himpunan B dapat ditulis : A ∪ B = {x | x ∈ A dan x ∈ B }
c. Contoh :
Jika A = {a, b, c}
B = {p, q, r}
Maka A ∪ B = {a,b,c,p,q,r}
12. Selisih Dua Himpunan
a. Selisih dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemen- elemennya menjadi anggota himpunan A dan bukan himpunan B.
b. Notasi A - B, dibaca " himpunan A kurang dari himpunan B". Secara matematik, selisih himpunan A dan himpunan B dapat ditulis sebagai A - B = {x | x ∈ A dan x ∈ B } A- B = A ∩ B'
13. Himpunan yang Sama
a. Himpunan A dan B dapat dikatakan sama jika setiap elemen himpunan B memiliki banyak elemen (anggota) yang sama dengan elemen himpunan A, dan sebaliknya.
b. Jika himpunan A sama dengan himpunan B, maka banyaknya elemen (anggota) dari himpunan A selalu sama dengan banyaknya elemen (anggota) himpunan B
c. Contoh :
Jika A = {a, b, c, d} dan B = {b, c, d, a}, maka A = B
14. Himpunan Ekuivalen
a. Dua himpunan A dan B dikatakan ekivalen atau sederajat apabila banyaknya elemen (anggota) himpunan A sama dengan banyaknya anggota (elemen) himpunan B.
b. Notasi : A ~ B, dibaca "himpunan A ekivalen himpunan B".
c. Banyak elemen (anggota) himpunan A dilambangkan dengan notasi n(A)
d. Banyaknya anggota suatu himpunan disebut bilangan kardinal
e. Contoh :
A = {a, b, c} --> n(A) = 3
B = {1, 2, 3} --> n(B) = 3
n(A) =n(B), maka A ~ B
15. Himpunan Lepas
a. Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas, apabila irisan himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan kosong.
b. Secara matematik, himpunan lepas dapat ditulis :
(1) A dan B lepas jika A ∩ B = ∅
(2) A dan B lepas jika A - B = A
(3) A dan B lepas jika B - A = b
c. Contoh
A = { 3, 4, 5}
B = {7, 8, 9, 10}
A' ∩ B = ∅, jadi, A dan B lepas.
16. Himpunan Bilangan Asli
a. Bilangan asli adalah bilangan seperti 1, 2, 3, 4, 5, ....
b. Himpunan bilangan asli adalah {1, 2, 3, 4, 5, ...}
c. Bilangan asli terdiri atas 4 kelompok yaitu :
(1) bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ....
(2) bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, ....
(3) bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, ....
(4) bilangan komposit : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ....
17. Himpunan Bilangan Cacah
a. Bilangan cacah terdiri atas himpunan semua bilangan asli dan bilangan nol.
b. Himpunan bilangan cacah : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ....}
c. Bilangan cacah dilambangkan dengan huruf "C".
18. Himpunan Bilangan Bulat
a. Bilangan bulat terdiri atas bilangan asli atau bilangan bulat positif, bilangan nol dan lawan dari bilangan asli atau bilangan bulat negatif.
b. Bilangan bulat dilambangkan dengan huruf "B".
19. Himpunan Bilangan Rasional
a. Bilangan rasional terdiri atas
(1) Himpunan pecahan negatif
(2) Himpunan pecahan positif
(3) Bilangan nol
(4) Himpunan bilangan bulat negatif
(5) Himpunan bilangan bulat positif
b. Bilangan bulat pada dasarnya adalah pecahan positif dan/ pecahan negatif
20. Himpunan Bilangan Irasional
a. Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan pecahan atau bilangan yang bukan bilangan irasional.
b. Contoh : √5 ; √7 ; √8 ; √11, dan sebagainya
21. Himpunan Bilangan Real
a. Bilangan real adalah gabungan antara himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional.
b. Bilangan real dinyatakan dengan lambang huruf "R".
Demikian pembahasan tentang himpunan, salah satu bagian penting yang dipelajari dalam pelajaran matematika. Semoga penjelasan di atas dapat membantu teman- teman dalam belajar materi khususnya tentang Himpunan.
Semoga Bermanfaat
Salam.
Sumber Tulisan :
Purdi E. Chandra, 1994. Panduan Belajar Matematika Dasar Kelas 3 SMA. Primagama