Bahas Tuntas Materi Himpunan, Materi Matematika SMP Plus Soal dan Pembahasan

Halo sahabat Ahzaa, selamat datang kembali di AhzaaNet. Pada kesempatan ini kita akan belajar tentang Himpunan, Materi Matematika SMP Plus Soal  dan Pembahasan.  

Materi himpunan ini merupakan materi kelas 7 SMP namun juga sebagai salah satu materi yang diujikan dalam ujian sekolah kelas 9 SMP. 

Photo by Ave Calvar on Unsplash

Baik, langsung saja yaa berikut materi himpunan plus latihan soal dan pembahasan,

Pengertian Himpunan

Himpunan merupakan kumpulan obyek- obyek yang dapat dinyatakan dengan jelas. 

Untuk memahami tentang himpunan, perhatikan ilustrasi berikut ini,

• Kumpulan siswa yang berbadan kurus bukan merupakan himpunan, karena berbadan kurus tidak jelas harus berapa kilogram batasan beratnya.
• Kumpulan hewan berkaki dua merupakan himpunan, karena dapat dibedakan antara anggota dan bukan anggota dari kumpulan tersebut.

Contoh Soal :

manakah kumpulan berikut yang merupakan himpunan?

(i) Kumpulan hewan berkaki empat

(ii) Kumpulan bilangan kecil

(iii) Kumpulan warna lampu lalu lintas

(iv) Kumpulan bunga yang indah

Jawab :

Yang merupakan himpunan adalah (i) dan (iii)

Elemen atau Unsur Himpunan

Benda- benda yang termasuk dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan tersebut. Jika a anggota himpunan A maka ditulis a ∈ A dan jika a bukan anggota himpunan A maka ditulis a ∉ A.

Contoh soal

Diketahui

P = { Faktor prima dari 210}

Lambang yang benar adalah :

1 ... P

2 ... P

3. ...P

4 ... P

5 ... P

6. ... P

7 ... P

11 ... P

21 ... P

Jawab 

1 ∉ P

2 ∈ P

3 ∈P

4 ∉ P

5 ∈ P

6 ∉ P

7 ∈ P

11 ∉ P

21 ∉ P

Cara Menyatakan Himpunan

a. Dengan mendaftar

Contoh :

P = {Bilangan asli prima kurang dari 15} maka dengan cara mendaftar P = {2,3,5,7,11,13}

b. Dengan kata- kata

Contoh :

P = {1,3,5,7,9,11,13} maka dengan kata- kata,

P = {bilangan Asli ganjil kurang dari 15}

c. Dengan notasi pembentuk himpunan

Contoh :

P = { 4,6,8,10,12,14} maka dengan notasi P = {x|2<x<15:x bilangan Asli genap}

Banyak Anggota Himpunan

Bilangan kardinal adalah Bilangan yang menyatakan banyak anggota suatu himpunan. Banyak anggota himpunan A ditulis n(A).

Contoh soal

Diketahui K = {faktor 12} banyak anggota himpunan adalah ....

Jawab :

K = (1,2,3,4,6,12}

n(K) = 6

Himpunan Semesta

Himpuna semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan dari suatu himpunan. Himpunan semesta dilambangkan dengan S

Contoh :

Diketahui Q = {2,3,5,7}, maka himpunan semesta dari himpunan Q adalah {bilangan Prima, bilangan Cacah, bilangan Asli, bilangan Bulat atau bilangan Riil}

Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota. Himpunan kosong dilambangkan dengan ∅ atau {  }.

Contoh soal

Manakah himpunan berikut ini yang merupakan himpunan kosong?

(i) Himpunan bilangan prima genap

(ii) A = {x|x<1 ;x bilangan cacah}

(iii) B = Himpunan bilangan prima antara 7 dan 11

(iv) C = Himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2

Jadi yang merupakan himpunan kosong adalah (iii) dan (iv)

Himpunan Bagian

• Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B
• Jika himpunan A adalah himpunan bagian himpunan B maka ditulis A ⊂ B
• Jika himpunan A bukan himpunan bagian himpunan B maka ditulis A ⊄ B

Contoh cara menyebutkan seluruh himpunan bagian dari suatu himpunan

1. Himpunan bagian dari A = {a}  adalah ∅ dan {a}

2. Himpunan bagian dari B = {a,b} adalah ∅, {a},{b}, {a,b}

3. Himpunan bagian dari C = {a,b,c} adalah ∅, {a},{b},{c},{a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}

• Banyak himpunan bagian dari suatu himpunan yang memiliki n anggota adalah 2^n

Contoh soal:

Diketahui 

P = {faktor 20} maka tentukan banyak seluruh himpunan bagian dari P!

Jawab:

P = {1,2,4,5,10,20}

Banyak anggota P = n(P) = 6

Banyak himpunan bagian

P = 2ⁿ

= 2⁶

= 2*2*2*2*2*2

= 64

• Untuk menentukan banyak himpunan bagian dari suatu himpunan yang terdiri n anggota dapat digunakan segitiga pascal sebagai berikut, 

source : pngtree

Contoh soal

Diketahui himpunan D = {bilangan ganjil antara 1 dan 10}

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan D tersebut!

Jawab :

Himpunan D = {3,5,7,9}

Jadi n (D) = 4 sehingga banyak himpunan bagian dari himpunan D adalah jumlah dari 1 + 4+ 6 + 4 + 1 = 16

(gunakan segitiga pascal sampai baris ke-5)

• Untuk menentukan banyak himpunan bagian yang terdiri r anggota dari suatu himpunan yang anggotanya n dapat digunakan kombinasi. Jika banyak anggota himpunan A adalah n(A) = n maka banyak himpunan bagian dari A yang terdiri r  anggota adalah : 
  
  
  

C adalah kombinasi r dan n

Contoh Soal

Diketahui

P = {x|x<10 ;x bilangan Asli}

Tentukan banyak himpunan bagian dari himpunan P yang terdiri dari 4 anggota!

Jawab :

Himpunan P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Jadi n(P) = 9. Banyak himpunan bagian dari P yang terdiri 4 anggota adalah ....

Himpunan Saling Lepas

• Dua himpunan atau lebih dikatakan saling lepas jika himpunan- himpunan tersebut tidak memiliki anggota yang sama. Jika himpunan A saling lepas dengan himpunan B maka ditulis A//B

Contoh Soal

Manakah himpunan- himpunan berikut yang saling lepas?

(i) A = {Bilangan faktor 24}

(ii) B = { Bilangan prima antara 5 dan 15}

(iii) C = {Bilangan genap antara 10 dan 20}

(iv) D = {Bilangan ganjil antara 8 dan 18}

Jawab :

(i) A= { 1,2,3,4,6,8,12,24}

(ii) B = {7,11,13}

(iii) C = {12,14,16,18}

(iv) D = {9,11,13,15,17}

Himpunan A saling lepas dengan B (A//B) karena tidak ada anggota kedua himpunan yang sama

Himpunan B saling lepas dengan C (B//C) karena tidak ada anggota kedua himpunan yang sama

Himpunan B saling lepas dengan D (B//D) karena tidak ada anggota kedua himpunan yang sama

Himpunan C saling lepas dengan D (C//D) karena tidak ada anggota kedua himpunan yang sama

Diagram Venn

• Diagram Venn ditemukan oleh John Venn dari Inggris
• Bentuk diagram Venn seperti kurva tertutup dimana semesta himpunan dengan persegi panjang dan anggota himpunan diberi tanda noktah atau titik. 

Contoh soal :

Gambarlah diagram venn dari himpunan berikut ini!

(i) S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A = {1,2,4,5,6,7}

B = {2,4,8,9}

(ii) S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

C = {1,3,5,7}

D = {2,4,6,8}

(iii) S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

C = {2,3,5}

D = {1,2,3,4,5,6,7}

Jawab :

(i)

(ii)

(iii)

Gabungan Himpunan atau Union

Gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A atau himpunan B atau anggota keduanya

Gabungan himpunan A dan B ditulis A U B

A U B = {x|x∈ A ;atau x∈ B}

Keterangan 

Jika A ⊂ B maka A U B = B

Contoh Soal 

Diketahui

W = { huruf pada kata "MENYANYI"} dan Y = {huruf pada kata 'MAINKAN"}

Tentukan W U Y !

Jawab :

Diketahui W = {m,e,n,y,a,i} dan Y = {m,a,i,n,k}

Jadi WUY = {m,e,n,y,a,i,k}

Irisan Himpunan atau Intersection

Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A dan himpunan B (anggota yang sama kedua himpunan tersebut)

Irisan himpunan A dan B ditulis A⋂B

A⋂B = {x|x∈ A ;atau x∈ B}

Keterangan :

Jika A ⊂ B maka A⋂B = A

Jika A//B maka A⋂B = ∅

Contoh soal :

Diketahui K = {faktor dari 20} dan L = {faktor dari 36}

Tentukan K⋂L!

Jawab :

Jelas K = {1,2,4,5,10,20} dan L = { 1,2,3,4,6,9,12,18,36}

jadi  K⋂L = {1,2,4}

Komplemen Himpunan

Komplemen himpunan A adalah himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan S dan bukan anggota himpunan A

Komplemen himpunan A ditulis A' atau A^c

A' atau A^c = {x|x∈ S ;atau x∉ A}

Keterangan

S' = S^2c = ∅

∅' = ∅^c = S

Hukum de Morgan 

a. (A U B)^c = A^c ⋂ B²

b. (A ⋂ B)^c = A^c U B^c

Rumus Banyak Anggota Himpunan

1. n(AUB)

= n(A) + n(B) - n (A ⋂ B)

2. n(A⋂B) 

= n(A) + n(B) - n(A U B)

3. Jika A//B maka

n(A U B = n(A) + n(B)

n(A⋂B ) = 0

4. Jika A ⊂ B maka

n (A U B) = n(B)

n(A⋂B) = n(A)

Contoh soal

Dari 35 siswa ternyata 20 siswa menyukai Bahasa Indonesia, 18 siswa menyukai Matematika, dan 5 siswa tidak menyukai keduanya. Tentukan banyak siswa yang menyukai keduanya!

Jawab :

Misal A = himpunan siswa menyukai Bahasa Indonesia dan B = himpunan siswa menyukai Matematika dan x adalah banyak siswa yang menyukai keduanya.

Perhatikan diagram venn berikut ini!

20 - x +x + 18 - x + 5 = 35

43 - x = 35

x = 8

Jadi banyak siswa yang menyukai keduanya adalah 8 siswa.

Demikian Materi Himpunan, Materi Matematika SMP Plus Soal  dan Pembahasan. Lain kesempatan akan saya tambahkan lagi dengan latihan soal ujian sekolah dengan materi himpunan plus pembahasannya.

Semoga Bermanfaat.